Posts Tagged ‘propagation’

Solutions

Posted in on avril 20th, 2009 by tiziel – Be the first to comment

Nous chercherons ici à trouver les solutions de l’équation de propagation établie pour la membrane précédemment.

Rappelons celle-ci :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

Les déformations observées sur la plaque sont provoquées par des ondes stationnaires, le sable se réfugiant dans les lignes nodales (où l’amplitude des oscillations est nulle). On propose les solutions de la forme :

f (x,y,t) = f_{0} \sin(\omega t + \varphi)\alpha (x) \beta (y)

On obtient lorsque l’on remplace cette solution dans l’équation de propagation :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} \alpha (x) \beta (y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \beta (y) \alpha (x) + \frac{\mu \omega^2}{T} \alpha (x) \beta (y) = 0

On voit que la solution de cette équation différentielle est proportionnelle à sa dérivée seconde : on en déduit que \alpha et \beta sont des fonctions sinusoïdales. La forme des solutions s’écrit maintenant :

f (x,y,t) = f_{0} \sin(\omega t + \varphi) \sin(k_{x} x + \varphi_{1}) \sin(k_{y} y + \varphi_{2})

De plus, k le nombre d’onde est proportionnel au nombres d’oscillations de l’onde par unité de longueur. Quand on remplace à nouveau dans l’équation différentielle, on obtient la relation suivante :

f_{0} \sin(\omega t + \varphi) \sin \big( \frac{n \pi x}{L} + \varphi_{1} \big) \sin \big( \frac{m \pi y}{l} + \varphi_{2} \big) \Big(- \frac{n^2 \pi^2 }{L^2} - \frac{m^2 \pi^2 }{l^2} + \frac{\mu \omega^2}{T} \Big) = 0

La solution des variables d’espace satisfait bien les conditions aux limites imposées : la plaque est fixée en son centre. Les déphasages \varphi_{1} et \varphi{2} étant alors de \frac{\pi}{2}, la solution de l’équation différentielle est finalement :

f(x,y,t) = f_{0} \sin( \omega t + \varphi) \cos( \frac{n \pi x}{L}) \cos( \frac{m \pi y}{l})

Pour trouver les mode de vibration de la plaque, on doit solutionner l’équation de dispersion suivante :

- \frac{\mu \omega^2}{T} + \frac{n^2 \pi^2 }{L^2} + \frac{m^2 \pi^2 }{l^2} = 0

On obtient donc la fréquence de vibration \nu en fonction des caractéristiques de la plaque et des différents modes de vibration :

\nu = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{T}{\mu}} \sqrt{ \frac{n^2}{L^2} + \frac{m^2}{l^2}}

Pour chaque mode de vibration m et n, on aura une fréquence de vibration, la fondamentale étant obtenue avec m=1 et n=1. Nous observerons ainsi pour chaque fréquence de vibration différente une image de Chladni particulière.

Partager:
  • Digg
  • Sphinn
  • del.icio.us
  • Facebook
  • Mixx
  • Google Bookmarks
  • email
  • Live
  • MySpace

Une membrane

Posted in on avril 5th, 2009 by tiziel – 3 Comments

Propagation sur une membrane

Le problème est le même que pour la propagation sur une corde mais à deux dimensions.

On considère une membrane, d’épaisseur infiniment petite, tendue par des forces de tension de chaque côté de la membrane. On se place dans un repère {o, x, y, z} et on étudie une petite déformation verticale de la membrane entre les points P_{1} (x, y, z), P_{2} (x+dx, y, z), P_{3} (x+dx, y+dy, z) et P_{4} (x, y+dy, z). On pose \vec{T_{1}} et \vec{T_{2}} les résultantes des forces de tension aux quatre points de la membrane :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

\vec{T_{2}} = T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

On considère comme pour la corde que la déformation est infiniment petite, on peut donc poser les mêmes approximations sur les angles :

\cos(\alpha) \approx 1\\ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \frac{\partial f }{\partial x}

On a donc :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x,t) \vec{u_{z}} \Big) -T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y,t) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x+dx,t) \vec{u_{z}} \Big) + T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y+dy,t) \vec{u_{z}} \Big)

D’après le théorème de Taylor au premier ordre (dx e dy étant très petits) :

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

On considère ici aussi que les éléments de la membrane se déforment à la même vitesse le long de l’axe des z. Le poids de la membrane étant négligé, le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

\mu \vec{a} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

avec \mu masse surfacique de la membrane et \vec{a} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) \vec{u_{z}} vecteur accélération de la déformation.

On obtient l’équation de propagation de d’Alembert (à deux dimensions de l’espace) :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

Partager:
  • Digg
  • Sphinn
  • del.icio.us
  • Facebook
  • Mixx
  • Google Bookmarks
  • email
  • Live
  • MySpace

Une corde

Posted in on mars 29th, 2009 by admin – Be the first to comment

Propagation le long d’une corde

On considère une corde suffisamment mince pour supposer qu’elle est sans raideur. Elle est tendue avec une force de tension \vec{T} (de module T), appliquée à ses deux extrémités, la tension étant considérée comme uniforme.

On va d’abord exprimer les forces de tension pour pouvoir par la suite appliquer le principe fondamental de la dynamique. On se place dans un repère {o, x, z} et on étudie une petite déformation verticale de la corde (provoquée par le passage de l’onde transversale). On doit donc étudier les tensions aux points (x, z) et (x+dx, z), dx étant un petit déplacement vertical.

On a donc en projettant les forces de tension sur les deux axes :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}} \Big)

La déformation étant considérée comme très petite (l’angle α étant l’angle entre \vec{T} et l’axe des x et très petit), on peut poser :

\cos(\alpha) \approx 1\\ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \frac{\partial f }{\partial x}

D’où :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x,t) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x+dx,t) \vec{u_{z}} \Big)

D’après le théorème de Taylor au premier ordre (dx étant très petit) :

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}}

On néglige les autres forces appliquées à la corde, comme son poids, car elle est considérée comme infiniment fine et on considère que tous les éléments de la corde ont la même vitesse lors de la déformation le long de l’axe des z. Lorsque l’on applique le principe fondamental de la dynamique, on a donc :

\mu \vec{a} = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}}

avec \mu masse linéique de la corde et \vec{a} vecteur accélération de la déformation.

De plus, \vec{a} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) \vec{u_{z}} . D’où on obtient la relation :

\mu \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t)

C’est l’équation de propagation de d’Alembert : \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

Partager:
  • Digg
  • Sphinn
  • del.icio.us
  • Facebook
  • Mixx
  • Google Bookmarks
  • email
  • Live
  • MySpace