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Une membrane

Posted in on avril 5th, 2009 by tiziel – 3 Comments

Propagation sur une membrane

Le problème est le même que pour la propagation sur une corde mais à deux dimensions.

On considère une membrane, d’épaisseur infiniment petite, tendue par des forces de tension de chaque côté de la membrane. On se place dans un repère {o, x, y, z} et on étudie une petite déformation verticale de la membrane entre les points P_{1} (x, y, z), P_{2} (x+dx, y, z), P_{3} (x+dx, y+dy, z) et P_{4} (x, y+dy, z). On pose \vec{T_{1}} et \vec{T_{2}} les résultantes des forces de tension aux quatre points de la membrane :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

\vec{T_{2}} = T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

On considère comme pour la corde que la déformation est infiniment petite, on peut donc poser les mêmes approximations sur les angles :

\cos(\alpha) \approx 1\\ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \frac{\partial f }{\partial x}

On a donc :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x,t) \vec{u_{z}} \Big) -T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y,t) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x+dx,t) \vec{u_{z}} \Big) + T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y+dy,t) \vec{u_{z}} \Big)

D’après le théorème de Taylor au premier ordre (dx e dy étant très petits) :

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

On considère ici aussi que les éléments de la membrane se déforment à la même vitesse le long de l’axe des z. Le poids de la membrane étant négligé, le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

\mu \vec{a} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

avec \mu masse surfacique de la membrane et \vec{a} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) \vec{u_{z}} vecteur accélération de la déformation.

On obtient l’équation de propagation de d’Alembert (à deux dimensions de l’espace) :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

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