Posts Tagged ‘déformation’

Une membrane

Posted in on avril 5th, 2009 by tiziel – 3 Comments

Propagation sur une membrane

Le problème est le même que pour la propagation sur une corde mais à deux dimensions.

On considère une membrane, d’épaisseur infiniment petite, tendue par des forces de tension de chaque côté de la membrane. On se place dans un repère {o, x, y, z} et on étudie une petite déformation verticale de la membrane entre les points P_{1} (x, y, z), P_{2} (x+dx, y, z), P_{3} (x+dx, y+dy, z) et P_{4} (x, y+dy, z). On pose \vec{T_{1}} et \vec{T_{2}} les résultantes des forces de tension aux quatre points de la membrane :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

\vec{T_{2}} = T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

On considère comme pour la corde que la déformation est infiniment petite, on peut donc poser les mêmes approximations sur les angles :

\cos(\alpha) \approx 1\\ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \frac{\partial f }{\partial x}

On a donc :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x,t) \vec{u_{z}} \Big) -T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y,t) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x+dx,t) \vec{u_{z}} \Big) + T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y+dy,t) \vec{u_{z}} \Big)

D’après le théorème de Taylor au premier ordre (dx e dy étant très petits) :

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

On considère ici aussi que les éléments de la membrane se déforment à la même vitesse le long de l’axe des z. Le poids de la membrane étant négligé, le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

\mu \vec{a} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

avec \mu masse surfacique de la membrane et \vec{a} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) \vec{u_{z}} vecteur accélération de la déformation.

On obtient l’équation de propagation de d’Alembert (à deux dimensions de l’espace) :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

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Une corde

Posted in on mars 29th, 2009 by admin – Be the first to comment

Propagation le long d’une corde

On considère une corde suffisamment mince pour supposer qu’elle est sans raideur. Elle est tendue avec une force de tension \vec{T} (de module T), appliquée à ses deux extrémités, la tension étant considérée comme uniforme.

On va d’abord exprimer les forces de tension pour pouvoir par la suite appliquer le principe fondamental de la dynamique. On se place dans un repère {o, x, z} et on étudie une petite déformation verticale de la corde (provoquée par le passage de l’onde transversale). On doit donc étudier les tensions aux points (x, z) et (x+dx, z), dx étant un petit déplacement vertical.

On a donc en projettant les forces de tension sur les deux axes :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}} \Big)

La déformation étant considérée comme très petite (l’angle α étant l’angle entre \vec{T} et l’axe des x et très petit), on peut poser :

\cos(\alpha) \approx 1\\ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \frac{\partial f }{\partial x}

D’où :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x,t) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x+dx,t) \vec{u_{z}} \Big)

D’après le théorème de Taylor au premier ordre (dx étant très petit) :

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}}

On néglige les autres forces appliquées à la corde, comme son poids, car elle est considérée comme infiniment fine et on considère que tous les éléments de la corde ont la même vitesse lors de la déformation le long de l’axe des z. Lorsque l’on applique le principe fondamental de la dynamique, on a donc :

\mu \vec{a} = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}}

avec \mu masse linéique de la corde et \vec{a} vecteur accélération de la déformation.

De plus, \vec{a} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) \vec{u_{z}} . D’où on obtient la relation :

\mu \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t)

C’est l’équation de propagation de d’Alembert : \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

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