Solutions

Nous chercherons ici à trouver les solutions de l’équation de propagation établie pour la membrane précédemment.

Rappelons celle-ci :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

Les déformations observées sur la plaque sont provoquées par des ondes stationnaires, le sable se réfugiant dans les lignes nodales (où l’amplitude des oscillations est nulle). On propose les solutions de la forme :

f (x,y,t) = f_{0} \sin(\omega t + \varphi)\alpha (x) \beta (y)

On obtient lorsque l’on remplace cette solution dans l’équation de propagation :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} \alpha (x) \beta (y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \beta (y) \alpha (x) + \frac{\mu \omega^2}{T} \alpha (x) \beta (y) = 0

On voit que la solution de cette équation différentielle est proportionnelle à sa dérivée seconde : on en déduit que \alpha et \beta sont des fonctions sinusoïdales. La forme des solutions s’écrit maintenant :

f (x,y,t) = f_{0} \sin(\omega t + \varphi) \sin(k_{x} x + \varphi_{1}) \sin(k_{y} y + \varphi_{2})

De plus, k le nombre d’onde est proportionnel au nombres d’oscillations de l’onde par unité de longueur. Quand on remplace à nouveau dans l’équation différentielle, on obtient la relation suivante :

f_{0} \sin(\omega t + \varphi) \sin \big( \frac{n \pi x}{L} + \varphi_{1} \big) \sin \big( \frac{m \pi y}{l} + \varphi_{2} \big) \Big(- \frac{n^2 \pi^2 }{L^2} - \frac{m^2 \pi^2 }{l^2} + \frac{\mu \omega^2}{T} \Big) = 0

La solution des variables d’espace satisfait bien les conditions aux limites imposées : la plaque est fixée en son centre. Les déphasages \varphi_{1} et \varphi{2} étant alors de \frac{\pi}{2}, la solution de l’équation différentielle est finalement :

f(x,y,t) = f_{0} \sin( \omega t + \varphi) \cos( \frac{n \pi x}{L}) \cos( \frac{m \pi y}{l})

Pour trouver les mode de vibration de la plaque, on doit solutionner l’équation de dispersion suivante :

- \frac{\mu \omega^2}{T} + \frac{n^2 \pi^2 }{L^2} + \frac{m^2 \pi^2 }{l^2} = 0

On obtient donc la fréquence de vibration \nu en fonction des caractéristiques de la plaque et des différents modes de vibration :

\nu = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{T}{\mu}} \sqrt{ \frac{n^2}{L^2} + \frac{m^2}{l^2}}

Pour chaque mode de vibration m et n, on aura une fréquence de vibration, la fondamentale étant obtenue avec m=1 et n=1. Nous observerons ainsi pour chaque fréquence de vibration différente une image de Chladni particulière.

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