Une membrane

Propagation sur une membrane

Le problème est le même que pour la propagation sur une corde mais à deux dimensions.

On considère une membrane, d’épaisseur infiniment petite, tendue par des forces de tension de chaque côté de la membrane. On se place dans un repère {o, x, y, z} et on étudie une petite déformation verticale de la membrane entre les points P_{1} (x, y, z), P_{2} (x+dx, y, z), P_{3} (x+dx, y+dy, z) et P_{4} (x, y+dy, z). On pose \vec{T_{1}} et \vec{T_{2}} les résultantes des forces de tension aux quatre points de la membrane :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

\vec{T_{2}} = T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big) T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{y}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}}\Big)

On considère comme pour la corde que la déformation est infiniment petite, on peut donc poser les mêmes approximations sur les angles :

\cos(\alpha) \approx 1\\ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \frac{\partial f }{\partial x}

On a donc :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x,t) \vec{u_{z}} \Big) -T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y,t) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x+dx,t) \vec{u_{z}} \Big) + T \Big(\vec{u_{y}} + \frac{\partial }{\partial y} f(y+dy,t) \vec{u_{z}} \Big)

D’après le théorème de Taylor au premier ordre (dx e dy étant très petits) :

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

On considère ici aussi que les éléments de la membrane se déforment à la même vitesse le long de l’axe des z. Le poids de la membrane étant négligé, le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

\mu \vec{a} = T \Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) \vec{u_{z}}\Big)

avec \mu masse surfacique de la membrane et \vec{a} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) \vec{u_{z}} vecteur accélération de la déformation.

On obtient l’équation de propagation de d’Alembert (à deux dimensions de l’espace) :

\frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f(y,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

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3 Responses to “Une membrane”

  1. 1
    Eric Says:
    janvier 10th, 2010 at 14 h 02 min

    est ce que la membrane est fixée en son centre comme dans l’expérience ou bien est elle fixé sur les bords ?

  2. 2
    admin Says:
    janvier 23rd, 2010 at 18 h 34 min

    Elle est fixée en son centre.
    C’est d’ailleurs ce qui définit les conditions aux limites (on sait qu’il n’y a pas de vibrations au centre de la plaque.)
    Cela est pris en compte dans la page « solutions ».

  3. 3
    Hadrien Says:
    mai 19th, 2010 at 12 h 38 min

    Tout d’abord un grand bravo pour ce site très complet. D’autre part, je fais un TIPE sur la vibration d’une membrane de savon (circulaire pour l’instant mais si cela est plus simple avec une rectangulaire je changerais), il est donc impossible de la fixer au centre, mais celui ci devrait être fixe quelque soit le mode propre non? On peut alors supposer qu’elle est fixée en son centre? Comment faire intervenir la forme de la membrane?

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