Une corde

Propagation le long d’une corde

On considère une corde suffisamment mince pour supposer qu’elle est sans raideur. Elle est tendue avec une force de tension \vec{T} (de module T), appliquée à ses deux extrémités, la tension étant considérée comme uniforme.

On va d’abord exprimer les forces de tension pour pouvoir par la suite appliquer le principe fondamental de la dynamique. On se place dans un repère {o, x, z} et on étudie une petite déformation verticale de la corde (provoquée par le passage de l’onde transversale). On doit donc étudier les tensions aux points (x, z) et (x+dx, z), dx étant un petit déplacement vertical.

On a donc en projettant les forces de tension sur les deux axes :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\cos(\alpha) \vec{u_{x}} + \sin(\alpha) \vec{u_{z}} \Big)

La déformation étant considérée comme très petite (l’angle α étant l’angle entre \vec{T} et l’axe des x et très petit), on peut poser :

\cos(\alpha) \approx 1\\ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \frac{\partial f }{\partial x}

D’où :

\vec{T_{1}} = -T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x,t) \vec{u_{z}} \Big) \\ \vec{T_{2}} = T \Big(\vec{u_{x}} + \frac{\partial }{\partial x} f(x+dx,t) \vec{u_{z}} \Big)

D’après le théorème de Taylor au premier ordre (dx étant très petit) :

\vec{T_{1}} + \vec{T_{2}} = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}}

On néglige les autres forces appliquées à la corde, comme son poids, car elle est considérée comme infiniment fine et on considère que tous les éléments de la corde ont la même vitesse lors de la déformation le long de l’axe des z. Lorsque l’on applique le principe fondamental de la dynamique, on a donc :

\mu \vec{a} = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) \vec{u_{z}}

avec \mu masse linéique de la corde et \vec{a} vecteur accélération de la déformation.

De plus, \vec{a} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) \vec{u_{z}} . D’où on obtient la relation :

\mu \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = T \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t)

C’est l’équation de propagation de d’Alembert : \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,t) - \frac{\mu}{T} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f(x,t) = 0

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